舞蹈链(DLX)入门


在一个全集$X$中若干子集的集合为$S$,精确覆盖($\boldsymbol{Exact~Cover}$)是指,$S$的子集$S*$,满足$X$中的每一个元素在$S*$中恰好出现一次。在计算机科学中,精确覆盖问题指找出这样的一种覆盖,或证明其不存在。

$0x01$ 精准覆盖问题

……其实是一种决策问题,给定$n$行长度为$m$的$0,1$序列,要求选出一些行,使得每一列有且仅有一个$1$,这就是精准覆盖问题。

诚然,我搜索贼菜,所以暂且不考虑爆搜,引进一种叫做“X算法”的东西,其本质上是每次选取一行,之后删掉所有与这行冲突的行,同时删掉与这行冲突的列,成为一个更小的矩阵,迭代下去。如果什么时候删没了,就说明是一种可行解;否则恢复原来的状态。

我们思考这种简洁做法的流程,发现朴素的删除与恢复无非就是将矩阵的这一个元素由$0$或$1$赋值成$-1$,记录一下状态回溯的时候再赋值回去,整个过程十分地漫长且繁复。而所谓所谓的”舞蹈链算法$\rm{DLX~(Dancing-Links ~X ~Algorithm)}$“算法则是专门用来加速这一过程。

在本人看来,$\rm{DLX}$更像是一种包装好的数据结构,一种加速措施,能更好的让爆搜达到其理论复杂度(所以本质上还是爆搜XD)……不过说实话“像翩翩起舞的舞者”我倒是看不出来…我觉得更像是一对牛仔裤上拉链,拉来拉去的那种感觉……

诶,什么时候我的Preface开始这么意识流了啊

$0x02$ $\text{Dancing-Links}$

其实算法的本质就是链表,这玩意儿插入删除都是$\Theta(1)$的。我们考虑建立一个十字循环链表,即每个元素在链表里是四联通的,并且左右成环、上下成环,目的是方便知道某些操作该什么时候停止。本质上来讲,一个求解矩阵(此处代指上文提到的$n$行$0,1$序列)初始的$\text{Dancing-Links}$ 共有$\text{1+m+Count(‘1’)}$ 个元素,其中$Count(‘1’)$指矩阵中$1$的个数。

前$\text{m+1}$个元素,大概就是列标元素($m$个)左右连成一片,最左边的$0$号元素用来判断是否$\text{worked-out}$整个矩阵,和所有列标元素串成一条左右连通的链表。然后剩下的的元素就是真实存在的元素…该怎么连怎么连那种感觉…

那么每个元素记录$6$个值,上下左右和行标列标。

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struct Node{
int l, r, u, d, co, ro ;
}B[MAX << 1] ;

初始化

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inline void Init(){
cin >> N >> M ;
for (int i = 0 ; i <= M ; ++ i) B[i].l = i - 1, B[i].r = i + 1, B[i].u = B[i].d = i ;
B[M].r = 0, B[0].l = M, cnt = M, memset(Ro, -1, sizeof(Ro)) ;
}

其中$R_o[]$数组记录每一行的第一个元素(第一个加进来的元素

然后Insert函数用于插入……毕竟是链表嘛,就要有个链表的样子

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inline void Insert(int R, int C){
Cs[C] ++, B[++ cnt].ro = R, B[cnt].co = C ;
B[cnt].u = C, B[cnt].d = B[C].d, B[C].d = B[B[C].d].u = cnt ;
if (Ro[R] < 0) Ro[R] = B[cnt].l = B[cnt].r = cnt ;
else B[cnt].l = B[Ro[R]].l, B[cnt].r = Ro[R], B[Ro[R]].l = B[B[Ro[R]].l].r = cnt ;
}

然后$C_s[]$数组用来记录每一列的元素个数,用来剪枝。

然后就是删除和恢复,都是以列为参数的函数,也都是很平凡的操作。

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inline void Del(int C){
B[B[C].l].r = B[C].r, B[B[C].r].l = B[C].l ;
for (int i = B[C].d ; i != C ; i = B[i].d)
for (int j = B[i].r ; j != i ; j = B[j].r)
B[B[j].d].u = B[j].u, B[B[j].u].d = B[j].d, Cs[B[j].co] -- ;
}
inline void Back(int C){
for (int i = B[C].u ; i != C ; i = B[i].u)
for (int j = B[i].l ; j != i ; j = B[j].l)
B[B[j].d].u = j, B[B[j].u].d = j, Cs[B[j].co] ++ ;
B[B[C].l].r = C, B[B[C].r].l = C ;
}

然后是主函数

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bool dance(int step){
if (!B[0].r){ return (bool)(ans = step) ; } int now_c = B[0].r ;
for (int i = B[0].r ; i ; i = B[i].r)
now_c = Cs[i] < Cs[now_c] ? i : now_c ;
Del(now_c) ;
for (int i = B[now_c].d ; i != now_c ; i = B[i].d) {
Ans[step] = B[i].ro ; for(int j = B[i].r ; j != i ; j = B[j].r) Del(B[j].co) ;
if (dance(step + 1)) return 1 ; for(int j = B[i].l ; j != i ; j = B[j].l) Back(B[j].co) ;
}
Back(now_c) ; return 0 ;
}

有个小剪枝,就是刚才说的$C_s[]$。如果每次从含有最少$1$的那一列开始删,似乎可以快好几倍。

我发现整理算法的文章写起来真是难受啊,还是意识流比较管用。

最后是全部的程序($Luogu4929$):

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#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>

#define I_used_to_rule_the_world___Seas_would_rise_when_I_gave_the_word___Now_in_the_morning_I_sleep_alone___Sweep_the_streets_I_used_to_own Init
#define I_used_to_roll_the_dice___Feel_the_fear_in_my_enemy_s_eyes___Listen_as_the_crowd_would_sing_Now_the_old_king_is_dead__Long_live_the_king Done
#define One_minute_I_held_the_key__Next_the_walls_were_closed_on_me__And_I_discovered_that_my_castles_stand__Upon_pillars_of_salt_pillars_of_sand work

#define MAXN 520
#define MAX 30010

using namespace std ;
struct Node{
int l, r, u, d, co, ro ;
}B[MAX << 1] ; int cnt, ans ;
int N, M, Ans[MAX], Ro[MAX], Cs[MAX] ;

inline void Init(){
cin >> N >> M, memset(Ro, -1, sizeof(Ro)) ;
for (int i = 0 ; i <= M ; ++ i) B[i].l = i - 1, B[i].r = i + 1, B[i].u = B[i].d = i ;
B[M].r = 0, B[0].l = M, cnt = M ;
}
inline void Insert(int R, int C){
Cs[C] ++, B[++ cnt].ro = R, B[cnt].co = C ;
B[cnt].u = C, B[cnt].d = B[C].d, B[C].d = B[B[C].d].u = cnt ;
if (Ro[R] < 0) Ro[R] = B[cnt].l = B[cnt].r = cnt ;
else B[cnt].l = B[Ro[R]].l, B[cnt].r = Ro[R], B[Ro[R]].l = B[B[Ro[R]].l].r = cnt ;
}
inline void Del(int C){
B[B[C].l].r = B[C].r, B[B[C].r].l = B[C].l ;
for (int i = B[C].d ; i != C ; i = B[i].d)
for (int j = B[i].r ; j != i ; j = B[j].r)
B[B[j].d].u = B[j].u, B[B[j].u].d = B[j].d, Cs[B[j].co] -- ;
}
inline void Back(int C){
for (int i = B[C].u ; i != C ; i = B[i].u)
for (int j = B[i].l ; j != i ; j = B[j].l)
B[B[j].d].u = j, B[B[j].u].d = j, Cs[B[j].co] ++ ;
B[B[C].l].r = C, B[B[C].r].l = C ;
}
bool dance(int step){
if (!B[0].r){ return (bool)(ans = step) ; } int now_c = B[0].r ;
for (int i = B[0].r ; i ; i = B[i].r)
now_c = Cs[i] < Cs[now_c] ? i : now_c ;
Del(now_c) ;
for (int i = B[now_c].d ; i != now_c ; i = B[i].d) {
Ans[step] = B[i].ro ; for(int j = B[i].r ; j != i ; j = B[j].r) Del(B[j].co) ;
if (dance(step + 1)) return 1 ; for(int j = B[i].l ; j != i ; j = B[j].l) Back(B[j].co) ;
}
Back(now_c) ; return 0 ;
}
void Done(){
int i, j, k ;
for (i = 1 ; i <= N ; ++ i)
for (j = 1 ; j <= M ; ++ j)
{ cin >> k ; if (k) Insert(i, j) ;}

}
inline bool work(){
if (!dance(0)) return puts("No Solution!") ;
for (int i = 0 ; i < ans ; ++ i) printf("%d ", Ans[i]) ;
}

int main(){
I_used_to_rule_the_world___Seas_would_rise_when_I_gave_the_word___Now_in_the_morning_I_sleep_alone___Sweep_the_streets_I_used_to_own() ;
I_used_to_roll_the_dice___Feel_the_fear_in_my_enemy_s_eyes___Listen_as_the_crowd_would_sing_Now_the_old_king_is_dead__Long_live_the_king() ;
One_minute_I_held_the_key__Next_the_walls_were_closed_on_me__And_I_discovered_that_my_castles_stand__Upon_pillars_of_salt_pillars_of_sand() ;
return 0 ; /*
I hear Jerusalem bells are ringing Roman Cavalry choirs are singing
Be my mirror my sword and shield My missionaries in a foreign field
For some reason I can't explain Once you know there was never'
Never an honest word That was when I ruled the world
*/
}