群论入门

写在前面:群作为抽象代数领域中比较基础的一环,同时也是沟通初等代数、初等几何与抽象代数的桥梁,着实打开了笔者的眼界。此篇blog旨在泛泛谈一些比较基础的群论内容,包括群的基本定义,子群的概念,阶的概念等等,不存在较为艰深的内容。

$1~)~$群的定义

比较简单的来讲,所谓群$(\rm{group})$指的是一类特殊的集合,这个集合包含一组元素和大于等于一个的运算,比如乘法群救记作$(G,\cdot)$。那么平凡来讲,群满足下列几个性质:

我们假定一个平凡的群$G$支持$\color{purple}{qwq}$这种运算:

$Property1~~$封闭性$\forall a\in G, b\in G, a~\color{purple}{qwq}~b \in G$

$Property2~~$运算的结合性$(a~\color{purple}{qwq}~b) ~\color{purple}{qwq}~ c=a~\color{purple}{qwq}~ (b ~qwq~ c)$

$Property3~~$存在单位元(幺元)满足以下定义:$\exists e\in G, s.t. \forall a\in G, e~\color{purple}{qwq}~ a=a~\color{purple}{qwq}~e=a$

$Property4~~$对于每个元素,存在逆元,即满足 $\forall a\in G, \exists b\in G, s.t. a~\color{purple}{qwq}~ b=b~\color{purple}{qwq}~a=e$

那么也就是说的直白点吧,对所有的元素,做完该群所带有的带有结合律的运算之后,所得结果仍然属于该群且一定存在单位元,对于每个元素存在运算逆元。

那我们不妨定义一些其他的:

  • 阿贝尔群$(Abel~ Group)$:即交换群——运算满足交换律的群。

  • 半群:满足封闭性和结合律的群。

  • 有限群$(Finite~Group)$:元素个数有限的群称为有限群,而有限群的元素个数称作有限群的阶

结合几个例子来解释一下:

比如以下是几个乘法群 $$ (Q\setminus{0}~,~\cdot)$$ $$(R\setminus{0}~, ~\cdot)$$$$ (C\setminus{0}~,~\cdot)$$

他们都不能包括$0$这个元素,因为这个元素显然是没有逆元的。

或者一个好玩儿的乘法群$$((1, -1)~~, ~~\cdot)$$或者是所有非奇异的$n$阶矩阵也可以组成一个乘法群。

或者是$$(Z~,~+)$$这个群比较经典$233$,其中我们借助这个来练习一下如何判断是否成群,首先思考,这个东西一定是封闭的,因为最后会收敛于$\pm \inf$所以一定封闭,其次运算是一定符合结合律的,然后单位元肯定就是$0$,最后逆元的话,对于$n$那就一定是$-n$了(紧扣定义即可)。


$Extra Things :$

以下是两种复合抽代数据结构(名字自己起的$233$):

环:定义在两个运算上,$(G,+,\cdot)$其中$(G,+)$是阿贝尔群,$(G,\cdot)$是半群

举例子:$Z$, $R[x]$,即整数环和$R$上的所有多项式的集合。

域:同样定义在两个运算上,$(F,+,\cdot)$其中$(F,+)$是阿贝尔群,$(F\setminus{0},\cdot)$是阿贝尔群

举例子 :$Q,R,C$即有理数域、实数域和复数域。


好的,那我们尝试证明两个命题:

$Proposition1~~~~$一个群中的单位元唯一

设有两个单位元$e_1,e_2$

那么$e_1=e_1e_2=e_2$,其实是一个$233$

$Proposition2~~~~$群中元素的逆元唯一

以乘法群为例,假设$a$有两个逆元$b,c$,那么一定会有$$b = b \cdot(a \cdot c) = (b \cdot a) \cdot c = c$$

显然也是同一个。

那么此时我打算整理一个群的共性特征:
$$(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$$

很显然,证明如下:
$$ab(b^{-1}a^{-1})=b^{-1}a^{-1})ab=e$$

提这个的目的就是,我们发现在矩阵的相关内容里面也有这件事儿~所以就很开心

那么之后我们讨论周期

对于一个元素$a \in G$而言,我们记$a$的周期是$o(a)$

$o(a)$表示最小正整数,使得$a^{o(a)}=e$


$2~)~$子群及衍生

本节所指“群”没有特别说明便均为有限群

不妨先给出子群的浅显版定义:

如果对于一个群$(G, C)$ ,其中$H\subseteq G$,,且 $(H,C)$是群,那么我们称在运算$C$下,$H$是$G$的子群,用$H\leq G$表示

那么从而我们可以定义生成子群这个东西:

生成子群:若$S \subseteq G$, 并且对于运算$C$而言,$(G,C)$也是一个群,那么就称$G$为集合$S$在运算$C$下的生成子群。集合$S$的生成子群用$<$$S$$>$表示

这之后我们就可以定义陪集这个概念

陪集一般上包含左陪集右陪集

左陪集:如果$H \leq G$,对于$a \in G$,定义集合$H_a = {x\in G~|~ \exists h\in H, ah=x}$为$H$的与元素$a$左陪集。

右陪集: 如果$H \leq G$,对于$a \in G$,定义集合$H_a = {x\in G~|~ \exists h\in H, ha=x}$为$H$的右陪集。

$233$也可以叫做傍集或者旁系之类的~

那么我们这个地方先只研究右陪集$233$

$Lemma1:$

我们首先证明一点:$|H|=|H_a|$,其中长得像绝对值符号的竖线表示的是有限群的群中元素数量

这个其实比较显然,因为事实上群都是定义在非可重集上面的。

较为严谨的证明如下:


$Proof.$

对于$H \leq G$,如果$h_1\neq h_2 \in H$,那么$h_1a\neq h_2a$

反证:若$h_1a=h_2a$,$h_1aa^{-1}=h_2aa^{-1},~h_1=h_2$矛盾

对于不同的$h$,$ha$互不相同,因此$|H_a|=|H|$


$Lemma2:$

之后我们再证明一些好玩儿的:

命题:$H_a=H_b$当且仅当$ab^{-1}\in H$

看起来好像不是那么好玩……


$Proof.$

若$H_a=H_b$,则$ea\in H_a$,即$a\in H_b$,那么$\exists h\in H,~a=hb$,那么$ab^{-1}=h$

若$ab^{-1}\in H$,那么$ha=ha(b^{-1}b)=(hab^{-1})b\in Hb$,因此$H_a\subseteq H_b$

$hb=hb(a^{-1}a)=h(ab^{-1})^{-1}a\in H_a$,故$H_b\subseteq H_a$

因此$H_a=H_b$


那么我们还可以有一个推论:

若$H_a\neq H_b$,那么$H_a\cap H_b = \emptyset$


$Proof.$

假设$x\in H_a\cap H_b$, 则$\exists h_1,h_2\in H$,$h_1a=h_2b=x$ , 那么$ab^{-1}=h_1^{-1}h_2\in H$,那么$H_a=H_b$,矛盾


从而还可以有个定理($Lagrange$定理):

由于$\forall g\in G$, $g\in Hg$,所以$G$中每个元素都在某个傍集中。用$[G:H]$表示不同的傍集数,那么

$$|G|=|H|\cdot [G:H]$$

也就是说$|H|$是$|G|$的约数。

这个其实很显然,因为不同元素的傍集如果不同就不会有交集,如果相同就不会被考虑到$[G:H]$里面。所以结论平凡。

但是其实这是个很伟大的定理$233$


好的,那么从而就会有一些神奇的推论:

推论一 : 对于一个元素$a \in G$,$G$是一个群,那么$o(a) | |G|$

$Proof.$ 因为$o(a) = |$$<$$a$$>$$|$,由我们刚刚证明的定理可以得出$o(a) | |G|$

推论二:对任意的$a \in G,a ^{|G|} = e$

$Proof.$ 比较显然,由推论一可知。

推论三:若$|G|$为素数,则$G$是循环群

$Proof.$ 若$a \neq e$,那么会有$|$$<$$a$$>$$|$整除$|G|$。而由于$|G|$是个素数,所以只有可能$|G| = |$$<$$a$$>$$|$ ,所以$G$是个循环群。

接下来我们真的要去做些好玩的了~


定理$1$·$Fermat$小定理

如果$p$为素数,那么存在$a^{p-1} \equiv 1 (\mod p) $

$Proof. $

考虑质数$p$,考虑群$G=${$1,2,\dots,p-1$},群的运算定义为对$p$取模的乘法,那么由$Lagrange$可知:

$$\forall a\in G, a^{p-1}=1(\mod p)$$

定理2·$Euler$定理

$a^{\phi(n)}=1 (\mod n)$

$Proof.$

考虑$n\in N^{+}$,考虑群$G=$ {$1\leq x\leq n~|~gcd(x,n)=1$ },群的运算定义为对$n$取模的乘法

那么会有$|G|=\phi(n)$,从而有:

$$\forall a\in G, a^{\phi(n)}=1 (\mod n)$$


没错,证明十分的简洁美观。

作者被这种神奇的证明给折服了$stO$.