$\rm{0x01}$ 闲话 · $LCT$的用途以及具体思路

咳，其实在我最近只是浅浅地学了一部分的基础上，窝觉得$LCT$其实就是一个用来维护森林连通性的。

嗯……因为其独特的性质所以也可以顺便维护好多东西，什么链上的最大值啊，链上的权值和啊……都可以维护——或者说，LCT是更加全能的树剖。

但其实吧……$LCT$打板子是很简单的，但是真正理解却一点儿也不简单。因为本身$splay$就很麻烦了，况且$splay$之前一直用于维护数列。要知道，此处的$splay$可是作为辅助树，维护一整个森林，并且可以支持序列中几乎全部操作——这就大大增高了理解难度。举个例子，你曾经认为已经难以理解、或者说不可以做的、比较复杂的区间翻转$Luogu3391$，在$LCT$里面有十分全面的涉及，但是被精简到了只有两行是用来描述这个内容的。显而易见的是，$LCT$虽然常数十分的大，但代码十分的短，比一棵完整的平衡树短了不少（实测50+行），与$FFT$一样具有着华丽的可观赏性，但是隐藏在之后的思维难度同样不可小觑。

也就是说我们是不是学的太草率、太浮躁了呢？快餐式地学完$LCT$，网上的每一篇博客都包教包会。但是我今天要整理的，是对于$LCT$真正的理解。希望各位看到这篇拙作的人可以获得一些什么。

$\rm{0x02}$ 闲话 · 关于$\rm{splay}$

道理我都懂，要想动态拆删一些东西，辅助树的形态可以改变是先决条件。看上去平衡树好像是个不错的选择，但是，选哪个作为辅助树呢？~~后宫佳丽三千我该翻谁的牌子呢~~

历史的重任最后落到了$\rm{splay}$的身上。然后$\rm{splay}$他居然：

他甚至还：

……

好吧，由于某些~~rqy也不知道的~~原因，如果不用$\rm{splay}$的话，复杂度是均摊$\Theta(\rm{nlog^2n})$, 而用$\rm{splay}$就可以做到均摊$\Theta(\rm{nlogn})$ ……但事实上，splay确实有他独特的性质，比如旋转到根啊之类的，比起其他种类的平衡树而言，更加适合$LCT$

$\rm{0x03}$ $LCT$的思路和基础操作

一主要思路

主要思路嘛……大概是基于实链剖分的操作。

朴素的树剖是重链剖分，大体上就是将整棵树的链划分为轻边和重链，运用巧妙的性质做到$log$级别。而遗憾的是$LCT$维护的是森林的连通性，所以只能采用实链剖分。

而实链剖分大体上就是把边分为虚边和实边。其中实边串联起一个联通块，同一组实边存在、且仅存在于一棵$\rm{splay}$中。$\rm{splay}$和$\rm{splay}$之间由虚边相连。

实链剖分的好处呢？在于实链剖分是一种动态剖分，他可以随意改变边的虚实属性。而显然，重链剖分由于有着足够的理论依据和逻辑推演，所以轻重链是难以更改，或者说，不可更改的。So，实链剖分为动态树的动态打下了基础。

那么接下来我们来看一个$LCT$是如何定义的:

1、首先，一棵$LCT$管控的是一对分散的点，点以几棵分散的$splay$的形式聚集。起初整棵$LCT$是没有任何联系的，各自为战，各自为根。我们接下来会看到的$access$、$makeroot$等操作，都是在自己的联通块儿内部进行的操作。换句话讲，$LCT$维护的是有根森林，即组成森林的每个联通块都有其唯一的根。
2、实边串联起一个联通块，同一组实边存在、且仅存在于一棵$\rm{splay}$中。$\rm{splay}$和$\rm{splay}$之间由虚边相连。只有实边是有效的，虚边可以被认为不存在。但是两种边都没有用到显式存储，都是通过splay中的$Son$数组和$Fa$数组访问的。但虚边和实边的存储有区别：
3、虚边是认父不认子，即如果$Fa[x]==y$，那么$y$不存$x$这个儿子，但是$x$存$y$这个父亲。这样做是为了可以$Access$——因为其实在$Access$的子函数$splay$里，发挥作用的实际上是$Fa$指针。
4、实边是完整的双向存储。
5、显然的是，$\rm{splay}$中维护的是一条从存储上到下按在原树中深度严格递增的路径，且中序遍历$\rm{splay}$得到的每个点的深度序列严格递增。换句话讲，一个$\rm{splay}$里面不会出现在原联通块儿（树）中深度相同的两个点。在一棵$\rm{splay}$中，键值就是原树中的深度。
6、如果$x$是它所在$splay$的最左边的点，那么它在原森林里的父亲是$x$所在$splay$的根的$fa$, 否则就是$x$在$splay$上的前驱.

二基础操作

$emm$所谓基础操作大概就是每个用到$LCT$的题几乎都要用到的操作。我们把$n$以实边相连的儿子记作实儿子。而由于只考虑实边不考虑虚边是一坨森林，算上虚边之后就成为了一棵树，所以我们把这棵实虚相见的树的根记为$root$

$\rm{1}$ $Access$

这个操作有着很迷的性质，其时间复杂度是均摊$\log n$的。而这个操作的目的是$Access(n)$表示从$root$向$n$打通一条实链，并以$n$点为最深度最大的点、$root$为深度最小的点形成一棵$\rm{splay}$。

不难看出，这个操作其实就是把原来$splay$的割据给改变了。

我们思考，如果此时我们$Access$完点$n$之后，理论上来讲，$n$点应该不再有实儿子了——显然，如果有实儿子的话，$splay$中是应该包含这个实儿子的——而这就不符合$n$是$\rm{splay}$中深度最大的点的性质了。而因为在splay中，点是以深度为键值的，所以我们要每次砍掉$\rm{splay}$中的右儿子——即砍掉原来的实儿子，并把刚刚诞生的$\rm{splay}$连上。

inline void Access(int x) { 
	for (int qwq = 0 ; x ; x = T[qwq = x].F) 
		splay(x), rc = qwq, update(x) ; 
}

然后这就是$Access$了。

$2 ~~Make~ Root~$

$make\text{_}root$先从$root$向$n$打通一条路径，然后$splay$上去，最后$reverse$一下。此处由于一开始$n$的深度最大，$splay$之后深度依旧最大，但此时$n$是$splay$的根，所以$reverse(n)$就相当于翻转了整条树上的链，那么翻转之后，$n$的深度就变成了最小，于是就是这个联通块儿的根节点了。

#define lc T[x].Son[0]
#define rc T[x].Son[1]
struct LCT{
int F, Son[2], R, S ;
}T[MAXN] ; 
inline void splay(int x) ;
inline void reverse(int x) { lc ^= rc ^= lc ^= rc, T[x].R ^= 1 ;}
inline void push_down(int x) { if (!T[x].R) return ; T[x].R = 0 ; if (lc) reverse(lc) ; if (rc) reverse(rc) ; }

inline void Rooten(int x) { Access(x), splay(x), reverse(x) ; }

inline void splay(int x){
	int qwq = x ; stk.push(qwq) ;
	while(check(qwq)) qwq = T[qwq].F, stk.push(qwq) ;
	while(!stk.empty()) push_down(stk.top()), stk.pop() ;
	while(check(x)){
	int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F ;
	if (check(fa)) rotate((T[g_fa].Son[1] == fa) == (T[fa].Son[1] == x) ? fa : x) ; rotate(x) ;
}

此处$splay$中由于要下放标记，需要保证树的形态是正确的，所以我们用一个$stack$存一下，顺序下放标记。

$3 ~Merge~$

此处的$Merge(x, y)$的意义是，拉起$x,y$中间的链，形成一个$splay$。这里就直接$Mkroot$一遍，然后$Access$即可。让哪个点当根应该都可以，只不过多$splay$几次可以保证优（毒）秀（瘤）的复（大）杂（常）度（数）。

upd：此处$splay$还有深层次的意图，就是可以保证现在$x$和$y$是相邻的，这样在cut的时候就会很方便了。

1	inline void Merge(int x, int y) { Rooten(x), Access(y), splay(y) ; }

$4~~Link~\&~Cut$

如果保证$Link$和$Cut$都是合法的操作的话，$Link$直接连，$Cut$直接删即可。

1 2	inline void Link(int x, int y){ Rooten(x) ; T[x].F = y ;} inline void Cut(int x, int y){ Merge(x, y) ; T[x].F = T[y].Son[0] = 0 ;}

此处$Link$必须先$Mkroot$一下，否则树链就断了。连的是虚边（因为连实边就会改变原来$splay$的割据）；$Cut$必须先$split$一下，保证两个点之间在同一棵$splay$中，加之我们的$Merge$操作中，一开始把$x$给$mkroot$了，再把$y$点$splay$上去，直接导致了现在$x$应该是$y$的孩子——于是就很开心的，可以直接$cut$了。

但事实上，天不遂人意……有时候这条边并不存在，盲目删除的话会导致$GG$，盲目连边的话也会导致树的形态爆炸，所以我们要进行一波操作……

1、$New-Link$

1 2	inline void Link(int x, int y){ Rooten(x) ; if(Find(y) != x) T[x].F = y ;} inline int Find(int x){ Access(x), splay(x) ; while(lc) push_down(x), x = lc ; splay(x) ; return x ;}

此处的意义在于，如果我们发现两个点在一个子树里面，连接它们就破坏了树的性质。$Find$就是无比普通的$Find$。。。。233

但要注意啊，$Find$找的是原树中的根，不是$splay$。由于原树中根的深度一定最小，所以应该是$splay$中最靠左的点……所以不断找左儿子。

多$BB$一句，这个地方一定注意啊！$Find$只改变了$splay$的形态，$mkroot$改变的是原树中的根

2、$New-Cut$

inline void Cut(int x, int y){ 
	Rooten(x) ; 
	if (Find(y) != x || T[y].Son[0] || T[y].F != x) return ; 
	T[y].F = T[x].Son[1] = 0, update(x) ; 
}

此处首先我们要判一下这两个点是不是直接相连。是否直接相连……在一棵$splay$中的体现，要克服两个问题，第一是要判断是否连通，还是$Find$操作。

之后我们需要判断是否满足恰好相隔一条边——注意，首先因为代码中的$x$比$y$在原树位置靠上（$Rooten$了$x$），在$splay$中靠左，那么如果$y$有左儿子的话，说明一定有$Depth(x) < Depth(y\text{的左儿子们}) < Depth(y)$，其中$Depth$表示原树深度。那么此时原树中$x$和$y$之间，一定隔着一些节点。考虑树的性质，两点之间有且仅有一条简单路径——所以当$T[y].Son[0]$不指向$Null$时，$x$和$y$之间没有一条边，不能直接$Cut$。

剩下的就很简单了，$T[y].F$应该是$x$，否则也不是直接相连。

5 $~Rotate$中的坑点

呃……其实就一处而已。就是：

inline bool check(int x){ return T[T[x].F].Son[0] == x || T[T[x].F].Son[1] == x ;  }
inline void rotate(int x) {
	int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F, W = x == T[fa].Son[1] ;
	if (check(fa)) T[g_fa].Son[T[g_fa].Son[1] == fa] = x ; T[x].F = g_fa ;
	T[fa].Son[W] = T[x].Son[W ^ 1], T[T[x].Son[W ^ 1]].F = fa, T[fa].F = x, 
  T[x].Son[W ^ 1] = fa, update(fa), update(x) ;
}

这个地方$splay$双旋判断祖父的时候，不再用$\rm{if(g\text{_}fa)}$，而是用$\rm{if(check(fa))}$。原因很简单，我们的虚边也是有指向父亲的指针的，但是连接两个不同的$splay$

剩下的……大概就没了吧……

于是——

$\color{red}{C}\color{cyan}{o}\color{gold}{d}\color{green}{e}$

#include <stack>
#include <cstdio>
#include <iostream>

#define MAXN 300233
#define lc T[x].Son[0]
#define rc T[x].Son[1]
#define rep(a, b, c) for(a = b ; a <= c ; ++ a)

using namespace std ;
struct LCT{
int F, Son[2], R, S ;
}T[MAXN] ; stack <int> stk ;
int base[MAXN], N, M, A, B, C, i ;

inline int Find(int x) ;
inline void splay(int x) ;
inline void push_down(int x) ;
inline void update(int x) { T[x].S = T[lc].S ^ T[rc].S ^ base[x] ;}
inline void reverse(int x) { lc ^= rc ^= lc ^= rc, T[x].R ^= 1 ;}
inline bool check(int x){ return T[T[x].F].Son[0] == x || T[T[x].F].Son[1] == x ;  }
inline void Access(int x) { for (int qwq = 0 ; x ; x = T[qwq = x].F) splay(x), rc = qwq, update(x) ; }
inline void rotate(int x) {
	int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F, W = x == T[fa].Son[1] ;
	if (check(fa)) T[g_fa].Son[T[g_fa].Son[1] == fa] = x ; T[x].F = g_fa ;
	T[fa].Son[W] = T[x].Son[W ^ 1], T[T[x].Son[W ^ 1]].F = fa, T[fa].F = x, T[x].Son[W ^ 1] = fa, update(fa), update(x) ;
}
inline void splay(int x){
	int qwq = x ; stk.push(qwq) ;
	while(check(qwq)) qwq = T[qwq].F, stk.push(qwq) ;
	while(!stk.empty()) push_down(stk.top()), stk.pop() ;
	while(check(x)){
	int fa = T[x].F, g_fa = T[fa].F ;
	if (check(fa)) {
        rotate((T[g_fa].Son[1] == fa) == (T[fa].Son[1] == x) ? fa : x) ; 						rotate(x) ;
	}
}
inline void Rooten(int x) { Access(x), splay(x), reverse(x) ; }
inline void split(int x, int y) { Rooten(x), Access(y), splay(y) ; }
inline void Link(int x, int y){ Rooten(x) ; if(Find(y) != x) T[x].F = y ;}
inline int Find(int x){ Access(x), splay(x) ; while(lc) push_down(x), x = lc ; splay(x) ; return x ;}
inline void push_down(int x) { if (!T[x].R) return ; T[x].R = 0 ; if (lc) reverse(lc) ; if (rc) reverse(rc) ; }
inline void Cut(int x, int y){ Rooten(x) ; if (Find(y) != x || T[y].Son[0] || T[y].F != x) return ; T[y].F = T[x].Son[1] = 0, update(x) ; }
int main(){
	cin >> N >> M ;
	rep(i, 1, N) scanf("%lld", &base[i]) ;
	rep(i, 1, M){
		scanf("%d%d%d", &A, &B, &C) ;
		if (A == 0) split(B, C), printf("%d\n", T[C].S) ;
		else if (A == 1) Link(B, C) ; else if (A == 2) Cut(B, C) ; else splay(B), base[B] = C 		;
	}
	return 0 ;
}

$\rm{0x00}$ 后记和参考

可写完了……嗝……~~打个肥宅嗝犒劳犒劳自己~~

怎么说呢，自从我开始学$LCT$到我写完这篇$blog$为止，是我十分难熬的时间，总时长接近一周。一开始看别人写的$LCT$，想当然地、草率地理解了理解，就开始打板子，对$LCT$一直是极为肤浅的认识。直到开始写，才发现自己哪个地方都不会，理解的半生不熟，总之很惨……

写博客真是一个陶冶情操的过程啊……~~包括做表情包~~

加油吧，$pks$！

$\rm{Reference}$

$[1]$ :$Flash\text{_}Hu$的$blog$ $^{^{[\nearrow ]}}$
$[2]$ :某篇论文，结合食用效果显著 $^{^{[\nearrow]}}$

LCT's Junior Intro

$\rm{0x01}$ 闲话 · $LCT$的用途以及具体思路

$\rm{0x02}$ 闲话 · 关于$\rm{splay}$

$\rm{0x03}$ $LCT$的思路和基础操作

一主要思路

二基础操作

$\rm{1}$ $Access$

$2 ~~Make~ Root~$

$3 ~Merge~$

$4~~Link~\&~Cut$

5 $~Rotate$中的坑点

$\color{red}{C}\color{cyan}{o}\color{gold}{d}\color{green}{e}$

$\rm{0x00}$ 后记和参考

$\rm{Reference}$

$\mathfrak{writter:pks}$

$\rm{0x01}$ 闲话 · $LCT$的用途以及具体思路

$\rm{0x02}$ 闲话 · 关于$\rm{splay}$

$\rm{0x03}$ $LCT$的思路和基础操作

一 主要思路

二 基础操作

$\rm{1}$ $Access$

$2 ~~Make~ Root~$

$3 ~Merge~$

$4~~Link~\&~Cut$

5 $~Rotate$中的坑点

$\color{red}{C}\color{cyan}{o}\color{gold}{d}\color{green}{e}$

$\rm{0x00}$ 后记和参考

$\rm{Reference}$

$\mathfrak{writter:pks}$

一主要思路

二基础操作